The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0, n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0, IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0 → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
isNat(n__length(n__isNat(X153596_4))) →⁺ U11(isNatIListKind(isNat(X153596_4)), isNat(X153596_4))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X153596_4 / n__length(n__isNat(X153596_4))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
isNat(n__length(n__isNat(X153596_4))) →⁺ U11(isNatIListKind(isNat(X153596_4)), isNat(X153596_4))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X153596_4 / n__length(n__isNat(X153596_4))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatList, activate, isNat, isNatIList, length, and, isNatIListKind, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
and, isNatList, activate, isNat, isNatIList, length, isNatIListKind, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatList, isNat, isNatIList, length, isNatIListKind, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Induction Base:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0))

Induction Step:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(n12_4, 1))) →_R^Ω(1)
take(activate(n__zeros), activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4))) →_R^Ω(1)
take(n__zeros, activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4))) →_IH
take(n__zeros, *3_4)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatList, isNat, isNatIList, and, isNatIListKind, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNat, isNatIList, and, isNatIListKind, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind, isNat, isNatIList, and, isNatIListKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIListKind, isNat, isNatIList, and

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIListKind.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatIList, and

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, and

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
and

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = isNatIList
isNatList = length
isNatList = and
isNatList = isNatIListKind
isNatList = isNatKind
activate = isNat
activate = isNatIList
activate = length
activate = and
activate = isNatIListKind
activate = isNatKind
isNat = isNatIList
isNat = length
isNat = and
isNat = isNatIListKind
isNat = isNatKind
isNatIList = length
isNatIList = and
isNatIList = isNatIListKind
isNatIList = isNatKind
length = and
length = isNatIListKind
length = isNatKind
and = isNatIListKind
and = isNatKind
isNatIListKind = isNatKind

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__0 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatIListKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__and :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

No more defined symbols left to analyse.

(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

(29) BOUNDS(n^1, INF)

(30) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatList(activate(V1)))
U12(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatList(activate(V)))
U32(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U42(tt, V2) → U43(isNatIList(activate(V2)))
U43(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U52(tt, V2) → U53(isNatList(activate(V2)))
U53(tt) → tt
U61(tt, V1, V2) → U62(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U62(tt, V2) → U63(isNatIList(activate(V2)))
U63(tt) → tt
U71(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatIListKind(n__take(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2)))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → isNatIListKind(activate(V1))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatIListKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(and(and(isNatList(activate(L)), n__isNatIListKind(activate(L))), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), activate(L))
take(0', IL) → U81(and(isNatIList(IL), n__isNatIListKind(IL)))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(and(and(isNatIList(activate(IL)), n__isNatIListKind(activate(IL))), n__and(n__and(n__isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N)))), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIListKind(X) → n__isNatIListKind(X)
nil → n__nil
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
cons :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
0' :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__zeros :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U11 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
tt :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U12 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
activate :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U21 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U22 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U31 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U32 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U41 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U42 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U43 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
isNatIList :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U51 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U52 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U53 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U61 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U62 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U63 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U71 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
s :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
length :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U81 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
nil :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
U91 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
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n__isNat :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
n__isNatKind :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
take :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
hole_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and1_4 :: n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4 :: Nat → n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(x))

No more defined symbols left to analyse.

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:tt:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIListKind:n__nil:n__isNat:n__isNatKind:n__and2_4(n12_4)) → *3_4, rt ∈ Ω(n12₄)

(32) BOUNDS(n^1, INF)